Как решать тригонометрические уравнения 10. Тригонометрические уравнения

Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения , для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

1. Метод замены переменной и подстановки

Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаем два уравнения

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Делим на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

x 2 = arctg 3 + k

4. Решение уравнений, через переход к половинному углу

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Пререносим все влево:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :



Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) k * arcsin С - + k, где



Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

И тому подобное...

Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.

Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.

Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)

Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Здесь а обозначает любое число. Любое.

Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:

cos(3x+π /3) = 1/2

и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.

Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.

Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)

Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.

Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)

Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.

Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:

cosx = 0,5

Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.

Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!

Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:

Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.

Косинус какого угла равен 0,5?

х = π /3

cos60° = cos(π /3 ) = 0,5

Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.

Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.

Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)

Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)

π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.

2π - это один полный оборот в радианах.

n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:

n ∈ Z

n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.

Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)

Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.

Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.

Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!

Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:

Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:

х 2 = - π /3

Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Это правильный ответ.

Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)

Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:

Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.

Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:

Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:

х = π /6

Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.

Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:

π - х

Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:

π - π /6 = 5π /6

Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.

В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)

Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:

Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.

Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.

Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:

Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:

х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.

Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.

С синусом та же песня. Например:

Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:

И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!

Вот и готова первая пачка корней:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:

π - х

Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:

х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)

Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.

Применим знания на практике?)

Решить тригонометрические уравнения:

Сначала попроще, прямо по этому уроку.

Теперь посложнее.

Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)

А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)

Ну и совсем простые):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)

Ответы, разумеется, в беспорядке):

х 1 = arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = π - arcsin0,3 + 2

Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

Преобразуем и разложим на множители выражение в

Левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо: а ) перенести все его члены в левую часть; б ) вынести все общие множители за скобки; в ) приравнять все множители и скобки нулю; г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos (или sin ) в старшей степени; д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , Корни этого уравнения: y 1 = - 1, y 2 = - 3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида :

a sin x + b cos x = c ,

Где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin (здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини

Вы можете заказать подробное решение вашей задачи !!!

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса и котангенса:
Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя , преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`\frac {sin^2 x}{cos^2 x}+\frac{sin x cos x}{cos^2 x} — \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x}=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt {a^2+b^2}`:

`\frac a{sqrt {a^2+b^2}} sin x +` `\frac b{sqrt {a^2+b^2}} cos x =` `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}`.

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a{sqrt {a^2+b^2}}=cos \varphi`, ` \frac b{sqrt {a^2+b^2}} =sin \varphi`, `\frac c{sqrt {a^2+b^2}}=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt {3^2+4^2}`, получим:

`\frac {3 sin x} {sqrt {3^2+4^2}}+` `\frac{4 cos x}{sqrt {3^2+4^2}}=` `\frac 2{sqrt {3^2+4^2}}`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac {sin x}{1+cos x}=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {(1-cos x)(1+cos x)}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {1-cos^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}=` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}`

`\frac {sin x}{1+cos x}-` `\frac {sin^2 x}{1+cos x}=0`

`\frac {sin x-sin^2 x}{1+cos x}=0`

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Примеры:

\(2\sin{⁡x} = \sqrt{3}\)
tg\({3x}=-\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими . Их легко решать с помощью () или специальных формул:

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: , и .

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac{1}{2}\).
Решение:

Ответ: \(\left[ \begin{gathered}x=-\frac{π}{6}+2πk, \\ x=-\frac{5π}{6}+2πn, \end{gathered}\right.\)\(k,n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в .

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ : решений нет.

Пример . Решите тригонометрическое уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого: 1) Построим окружность) 2) Построим оси \(x\) и \(y\) и ось тангенсов (она проходит через точку \((0;1)\) параллельно оси \(y\)). 3) На оси тангенсов отметим точку \(1\). 4) Соединим эту точку и начало координат - прямой. 5) Отметим точки пересечения этой прямой и числовой окружности. 6)Подпишем значения этих точек: \(\frac{π}{4}\) ,\(\frac{5π}{4}\) 7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡(3x+\frac{π}{4})=0\).
Решение:

Опять воспользуемся числовой окружностью. 1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\). 2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\). 3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку. 4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности. 5) Подпишем значения этих точек: \(-\)\(\frac{π}{2}\),\(\frac{π}{2}\) . 6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к косинуса (к тому что внутри косинуса). \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac{π}{4}\) \(=-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) 8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\). Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac{1}{4}\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации! \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac{3π}{4}\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac{π}{12}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) \(x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\)

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{12}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) \(x=-\)\(\frac{π}{4}\) \(+\)\(\frac{2πk}{3}\) , \(k∈Z\).

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и , и особые методы решений уравнений:
- Метод (самый популярный в ЕГЭ).
- Метод .
- Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).
	Наше уравнение превратилось в типичное . Можно его решить с помощью .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac{5-3}{4}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\) ; \(t_2=\)\(\frac{5+3}{4}\) \(=2\)	Делаем обратную замену.
\(\cos⁡x=\)\(\frac{1}{2}\); \(\cos⁡x=2\)	Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.
	Запишем все числа, лежащие на в этих точках.

Ответ: \(x=±\)\(\frac{π}{3}\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ) . Решите тригонометрическое уравнение \(=0\)

\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\) \(=0\)	Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать . Напомню, что котангенс это фактически дробь: ctg\(x=\)\(\frac{\cos⁡x}{\sin⁡x}\) Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ОДЗ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Отметим «нерешения» на числовой окружности.
\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\) \(=0\)	Избавимся в уравнении от знаменателя, умножив его на ctg\(x\). Мы можем это сделать, так как выше написали, что ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡{2x}=0\)	Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin⁡{2x}=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: \(x^2+1,5^x\)). Вместо этого вынесем \(\cos⁡x\) за скобки.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	«Расщепим» уравнение на два.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на \(2\) и перенесем \(\sin⁡x\) в правую часть.
\(x=±\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем. Второе уравнение типичное . Поделим его на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не может быть решением уравнения т.к. в этом случаи \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡x=-1\)).
	Опять используем окружность.
\(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ.

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\) \(+πn\), \(n∈Z\).