Легкий счет без калькулятора. Быстрый счет в уме: методика обучения

Тренажер устного счета — легко и существенно повышает интеллектуальный потенциал человека.

Результатом приобретения навыков и здачи нормативной квалификации будет присвоение спортивного разряда (I разряд, II разряд, III разряд, кандидат в мастера спорта, мастер спорта и гроссмейстер).

1. Людей из группы выделяют как по умению красиво и правильно говорить, так и по умению быстро считать в уме, и относят их, как правило, к категории умных. Школьнику умение быстро считать в уме позволяет более успешно учиться, а инженеру и ученому сократить время получения результата их деятельности.
2. УС нужен не только школьникам, но и инженерам, учителям, медицинским работникам, ученым и руководителям разного уровня. Кто быстро считает, тому легче учиться и работать. УС – это не игрушка, хотя и развлекает. Он позволяет вернуться ученику на те “рельсы”, с которых он упал когда-то; повышает скорость и качество восприятия информации; дисциплинирует и производит точность во всем; приучает замечать детали и мелочи; приучает к экономии; создает образы предметов и явлений; позволяет предвидеть будущее и развивает интеллект человека.
3. «Евроремонт» в голове нужно начинать с простых арифметических действий, которые позволяют структурировать мозг.
4. Умение быстро считать в уме дает ученику уверенность в себе. Как правило, быстрее всех считают в уме те, кто хорошо учится в школе или в ВУЗе. Если отстающего ученика научить быстро считать в уме, то это обязательно благотворно повлияет на его успеваемость, и не только в естественных, но и во всех других предметах. Это доказано практикой.
5. Произвольное внимание и интерес во время устного счета меняет блуждающий взгляд отстающего ученика на фиксированный, а концентрация внимания достигает нескольких этажей глубины предмета или процесса, который изучается.
6. “Изучение математики дисциплинирует мышление, приучает к правильному словесному выражению мыслей, к точности, сжатости и ясности речи, воспитывает настойчивость, умение достигать намеченной цели, развивает работоспособность, способствует правильной самооценке владения предметом, который изучается”. (Кудрявцев Л.Д. – член-кор. РАН. 2006.).
7. Ученик, который научился быстро считать в уме, как правило, начинает и быстрее мыслить.
8. Тот, кто по своей природе хорошо считает, естественно обнаружит ум и в любой другой науке, а тот, кто считает медленно, учась этому искусству и овладевая им, сможет улучшить свой ум, сделать его острее (Платон).
9. Приобретенных навыков устного счета одним хватит на 5 — 10 лет, а другим на всю жизнь.
10. Нашим потомкам будет легче учиться и получать знания. Однако, культура устного счета всегда будет являться неотъемлемой частью общечеловеческой культуры.
11. Кто быстро считает в уме, тот, как правило, ясно мыслит, быстро воспринимает и глубже видит.
12. Освоение УС развивает образное, диаграммное и системное мышление, расширяет оперативную память, диапазон восприятия, приучает к мышлению на несколько ходов вперед, повышает качество мышления, оперируя количественными характеристиками объектов.
13. УС повышает ясность мышления, уверенность в себе, а также волевые качества (терпение, усидчивость, выносливость, трудолюбие). Приучает к глубокой и устойчивой концентрации внимания, домысливанию и договариванию начатых фраз (особенно у дошкольников и учеников начальных классов).

Филиал МБОУ Токарёвской СОШ №1 в с.Полетаево

Исследовательская работа

научный руководитель: Зуева Ирина Петровна

учитель математики

Полетаево 2016 год

Введение.

Глава I. Исследование теории

1.1. Возникновение счета у первобытных людей

1.2. Изменение счета при появлении цивилизации

1.3. Первая литература по способам счёта

1.4. Таблица умножения на пальцах

1.5. Люди - феномены быстрого счёта

Глава II. Эксперименты и анализ решения

2.1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого меньше 10

2.2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила

умножения двузначного числа на число 11.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

2.7. Умножение на 37

Выводы.

Список использованной литературы.

Введение.

Для участия в конференции творческих работ школьников «Малые грани.» я достаточно быстро определилась с выбором темы. Мне всегда было интересно, какими методами пользуются учителя математики при проверке тетрадей, при объяснении нового материала, когда приходится произвести быстрый расчёт. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

Здесь будет файл: /data/edu/files/i1461402798.pptx (Нестандартные приемы устного счета)

Я выбрала тему «Нестандартные приемы устного счета » потому, что я люблю математику и хотела бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

Я поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.

Объект исследования - вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно - математического цикла.

Предмет исследования - нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел.

Задачи 1)узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел.

Методы исследования:

1) сбор информации;

2) систематизация и обобщение.

Цель исследовательской работы: изучить методы и приёмы быстрого счёта и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

ГЛАВА I.

1.1. Как люди научились считать.

На этом этапе мне предстоит окунуться в историю появления счёта, чтобы понять преимущества людей, обладающих приёмами быстрого счета.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше - «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

1.2. Изменение счёта при появлении цивилизации.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с деленьем - беда» - говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

1.3. Первая литература по способам счёта.

В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках».Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

1.4. Таблица умножения на «пальцах».

Таблица умножения - те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах даётся совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и т.д., но со временем все чаще забываемся на множителях ближе к 9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Уточнение: речь идет о школьной таблице умножения, т.е. для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10.

Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 … 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится» на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке). Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа - 3 пальца. Таким образом, 9·7=63. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите к примеру 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа - 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто.

Умножение для числа 8 - 8·1, 8·2 … 8·10 - действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца - с номером х и следующий палец с номером х+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку и выполнить расчёт как для числа от 1 до 5., а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с номером 3 и за ним палец с номером 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 2 пальца после пальца с номером 4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца - справа. Следовательно, 8·3=24.

Еще пример: вычислить 8·8=? Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку, выполнить расчет с новым число х-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас х=8, значит загибаем палец с номером 3 (8-5=3) и следующий палец с номером 4 (3+1). Слева два пальца остались не загнуты, значит загибаем еще два пальца (с номером 5,6). Получаем: слева 2 пальца не загнуты и справа - 4 пальца, что обозначает число 24. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 24+40=64. В итоге 8·8=64.

1.5. Люди - феномен быстрого счёта.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными - Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный.

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счёта. Уже с самого начала результаты были самые отрадные. Учащиеся радовались вновь приобретенным навыкам и с воодушевлением двигались вперед. Если раньше их отталкивала монотонность, то сейчас их привлекало разнообразие приёмов. Шаг за шагом, благодаря достигнутым ими успехам, рос интерес к занятиям. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Приведу примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

ГлаваII.

2.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;

62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

2.3 Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).

Разберем на примере: 633 умножить на 11.

Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата

633*11

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.

633*11

Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:

633*11

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;

24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов - 5)

Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747;

324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675;

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

2.7. Умножение на 37

Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 х 37 = (24: 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;

18 х 37 = (18: 3) х 111 = 6 х 111 = 666.

2.8. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100

Например: 98 х 97 = 9506

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

2.9. Умножение трёхзначного числа на 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) - «дополнения» первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10. Умножение на шесть (по Трахтенбергу)

Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».

Пример: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа» у неё нет, прибавлять нечего.

06222084 * 6 Вторая цифра 8, е «сосед» - 4. Мы берём 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

06222084 * 6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней

504 половину «соседа» 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс

перенос (1).

Остальные цифры аналогичны.

Ответ: 06222084 * 6

3732504

Правило умножения на 6: является «сосед» чётным или не чётным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она чётная, прибавляем к ней её целую часть половины «соседа», если нечётная, то кроме половины «соседа» прибавляем еще 5.

Пример: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 - чётная и не имеет «соседа», напишем её снизу

0443052 * 6 5 - нечётная: 5+5 и плюс половина «соседа» 2 (1)

12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1

0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, то будет 3

0443052 * 6 3 - нечетная, 3 + 5 = 8

8312

0443052 * 6 4 + половина от 3 (1) будет 5

58312

0443052 * 6 4 + половина от 4 (2) будет 6

658312

0443052 * 6 ноль + половина от 4 (2) будет 2

2658312 Ответ: 2658312.

Выводы:

Система быстрого счёта по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. нужно знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, нужно в памяти держать много правил быстрого счёта, но система Трахтенберга показывает как красива математика, если человек открывает тайны её закономерностей, изучает их и учится применять их на практике.

Выводы исследования

Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Список использованной литературы

1. «Устный счёт - гимнастика ума» Г.А.Филиппов

2. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева

3. «Устный счет». Э.Л.Струнников

4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин

5. «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов

6. «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова

7. «Развитие вычислительной культуры учащихся» НЛ. Мельникова

8. Библиотечка «Первое сентября»

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Актуальность нашего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.

Поэтому мы хотим помочь учащимся нашего класса научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.

Гипотеза исследования : Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

Объект исследования: различные алгоритмы счета

Предмет исследования: процесс вычислений.

Субъект исследования: учащиеся 7 класса.

Цель проекта:

• изучить методы и приемы быстрого счета
• показать необходимость их эффективного использования.

Задачи проекта:

• изучить историю возникновения вычислений
• рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас
• освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.
• создать брошюру “ Приемы быстрого счета”
• провести фестиваль “Приемы быстрого счета”
• cоздать брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу”
• оформить альбом “Приемы быстрого счета”

Мы составили подробный план работы над проектом: с 1 сентября 2015 года по 15 февраля 2016 года.

План работы над проектом:

Мероприятия	Время проведения
Составление плана работы над проектом	1.09. – 5.09. 2015 года
Изучить историю возникновения вычислений	10.09. – 30.09. 2015года
Познакомить с правилами вычислений в разные времена, в разных странах	1.10. – 16.10.2015 года
Изучить приемы быстрого счета	19.10. – 30.10.2015 года
Провести первичную диагностику вычислительных навыков учащихся	29.10.2015 года
Создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.	2.11. – 13.11. 2015 года
Знакомство учащихся с приемами быстрого сложения и вычитания	16.11 – 5.12.2015 года
Знакомство учащихся с приемами быстрого умножения и деления	7.12. – 26.12.2015 года
Провести фестиваль “Приемы быстрого счета” для учащихся 5-8 классов	23.12.2015 года
Провести повторную проверку вычислительных навыков учащихся.	27.12.2015 года
Подведение итогов работы над проектом	12.01.2016 года
Работа над презентацией	15.01. – 30.01.2016 года
Оформление альбома “Приемы быстрого счета”	1.02. – 15.02.2016 года

Теоретическая часть

Мы изучили историю возникновения вычислений.

У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.

Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.

Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.

У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной “счетной книги”, попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке

И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.

Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев, и привез их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так.

Они похожи на многие наши цифры. Арабы нуль, или “пусто”, называли “сифра”. С тех пор и появилось слово “цифра”. Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся

Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы.

Этот способ обозначения цифр называется цифирью

Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:

• десять тысяч – тьма,
• десять тем – легион,
• десять легионов – леодр,
• десять леодров – ворон,
• десять воронов – колода.

Такой способ обозначения чисел был очень неудобен.

Поэтому Петр I ввел в России привычные для нас десять цифр, которыми мы пользуемся до сих пор.

Мы изучили старинные способы быстрого счета.

Приведем пример одного из них.

Русский крестьянский способ умножения

умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Нам очень понравился “метод решетки” умножения чисел

Найдем произведение чисел 25 и 63.

1. Горизонтально запишем числа 25, вертикально 63.
2. Чертим решетку, проводим диагонали.
3. На пересечениях находим произведения чисел.
4. Складываем числа по диагоналям.

Получили результат: 1575

А какой интересный способ умножения чисел, которым пользуются даже в наше время в Японии.

Найдем произведение чисел 32 и 21

• Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
• Под углом чертим 2 и 1 полоски.
• Считаем количество точек пересечения:

Крайние правые - единицы - 2

По диагонали – десятки - 7

Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

С большим интересом мы познакомились с системой быстро счета Якова Трахтенберга.

Яков Трахтенберг- еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Мы создали брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу” и подарим ее каждому из вас. Изучите ее, пожалуйста, очень интересно!

Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга.

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее “соседа”.

Пример: 63247 * 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

• 63247 * 12 1дважды 7 будет = 14, переносим
• 63247 * 12 дважды 4+7+1=16, переносим 1
• 63247 * 12 дважды 2+4+1 = 9

Следующие шаги аналогичны.

Окончательный ответ: 63247 · 12 = 758964

Мы изучили много приемов быстрого счета. Сегодня мы не можем рассказать о каждом из них, остановимся только на некоторых. Более подробно вы узнаете из брошюры “Приемы быстрого счета”, которую мы подарим каждому из вас.

Сложение с использованием свойств действий с числами

• Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
  12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.
• Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
  549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.
• Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
  504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.

Поразрядное вычитание:

Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример1:

574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

Пример 2:

647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Применение свойств вычитания

• Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:
  934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177
• Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:
  (567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16 * 18 = (16+8) * 10 + 6 * 8 = 288,

Пример 2. 17 * 19 = (17+9) * 10 + 7 * 9 = 323.

Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

• 72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
• 35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

• 94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

• Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
  32 * 125 = 32: 8 * 1000 = 4000.
• Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:
  24 * 12,5 = 24: 8 * 100 = 300.
• Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:
  64 * 1,25 = 64: 8 *10 = 80.
• Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
  16,8 · 0,125=16,8: 8 = 2,1.

Умножение на 0,5;1,5; 2,5; 3,5 ...

• Чтобы умножить число на 0,5, надо разделить это число на 2.
  16 * 0,5 = 16: 2 = 8
• Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
  16 * 1,5 = 16+8= 10+14=24
• Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:
  16 * 2,5 = 16 * 2 + 8 = 32+8= 40
• Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
  16 * 3,5 = 16 * 3+8=48+8 = 40+16=56

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

• a: 5 = a * 2: 10
• a: 50 = a * 2: 100
• a: 25 = a * 4: 100
• 135: 5 = 135 * 2: 10 = 270: 10 = 27
• 3750: 50 = 3750 * 2: 100 = 7500: 100 =75
• 6400:25 = 6400 * 4: 100 = 25600: 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

• Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:
  32: 0,5 = 32 * 2 = 60 + 4 = 64
• Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:
  32: 0,25 = 32 * 4 = 120 + 8 = 128
• Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
  32: 0,125 = 32 * 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

35 2 = 3 * (3+1) и приписать 25, получим 35 2 = 122

75 2 = 7 * 8 и приписать 25, 75 2 = 5625

85 2 = 8 * 9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

56 2 = (25+6), приписать 6 2 =36, 56 2 = 3136

58 2 = (25+8), приписать 8 2 = 64, 58 2 = 3364

53? 2 (25+3), приписать 3 2 = 09, 53 2 = 280

Мы изучили много игр с числами. Пример одной игры мы приводим в брошюре. Поиграйте со своими одноклассниками, вам понравится.

Угадывание задуманного числа.

• Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
• Полученную сумму пусть умножит на 3.
• От произведения пусть отнимет 7.
• Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
• Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
  (x+5) * 3 - 7- 8 = 3x +15 – 15 = 3x

Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3.

Работая над проектом, мы узнали имена людей, которые могли считать очень быстро, обладали огромными способностями.

Приведем примеры:

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики.

Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца.

Однажды в школе Гауссу, в то время было 10 лет, учитель предложил классу найти сумму чисел от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ: 5050

Как Гаусс нашел сумму чисел от 1 до 100? Он их сгруппировал: (1+100)+(2+99)+т.д. 50 пар по 101, 101·50 = 5050.

Практическая часть

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

• Объект исследования: 7 класс.
• Время проведения: октябрь – январь

Диагностика проводилась в несколько этапов:

Для первичной диагностики была подготовлена проверочная работа, состоящих из 30 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение. По согласованию с учителем, мы провели его в своем классе.

Время выполнения работы – 10 минут.

Образец работы

648 + 232	678 – (254 + 278)	18 * 16	19 * 5	135: 5
457 + 248	658 - (358 + 200)	12 * 17	32 * 25	48: 0,5
378 – 352	(456 + 128) - 356	52 * 11	48 * 50	24: 0,25
285 + 263	68 + 127 + 32	76 * 11	12 * 125	1 12: 0,125
447 – 256	59 + 29 + 41	34 * 22	56 * 0,5	3200: 25
698 – 230	429 - 235	17 * 33	28 * 1,5	720: 45

Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат.

Затем мы изучили с одноклассниками приемы быстрого счета. Чтобы работа была более успешной, мы создали брошюру “Приемы быстрого счета” и вручили ее каждому ученику нашего класса.

Провели еще одну проверочную работу.

В декабре мы провели фестиваль “Приемы быстрого счета”. Мы познакомили учащихся с историей возникновения вычислений, с некоторыми интересными способами быстрого счета, еще раз рассмотрели много методов, позволяющих считать быстро и правильно. После проведения фестиваля мы провели итоговую проверочную работу.

Результаты всех трех работ приведены в таблице:

	Фамилия, имя	Работа №1	Работа №2	Работа №3
1	Алишихова Муминат	16	18	25
2	Войтов Саша	7	12	18
3	Карпушова Светлана	15	22	26
4	Кийков Вениамин	12	16	25
5	Кузнецова Даша	11	15	20
6	Магомедова Патимат	14	19	24
7	Мальцев Сережа	14	17	22
8	Макагонов Саша	5	9	14
9	Мирзаева Мадина	14	22	24
10	Сухоруков Витя	6	8	10
11	Ульянова Инна	14	19	26
12	Ульянов Данила	7	9	15
13	Цымлов Захар	10	15	23
14	Шмагин Ярослав	6	8	14

• Средний балл первой работы – 10,1
• Средний балл второй работы – 15,3
• Средний балл итоговой работы – 20,6

Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается

Существуют способы быстрого счета... Мы рассмотрели лишь немногие из них.

Все рассмотренные нами методы говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Вычисления без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления

Устный счет – гимнастика ума!

Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Результаты работы над проектом:

• изучили историю возникновения вычислений
• рассмотрели правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас
• освоили правила быстрого счета и научили пользоваться ими учащихся нашего класса..
• провели фестиваль “Приемы быстрого счета”.
• создали брошюру “Приемы быстрого счета” о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
• Создали брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу”
• оформили альбом “Приемы быстрого счета”

Использованные ресурсы:

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
4. “Первое сентября” Математика №3(15), 2007.
5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, “Математика в школе”, 2008, №7, стр.68
6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка “Первого сентября”, серия “Математика”. Вып. 3(15).
7. http://portfolio.1september.ru/subject.php

В устном счете, как и везде, есть свои хитрости, и чтобы научиться быстрее считать нужно, знать эти хитрости и уметь применять на практике.

Сегодня мы этим и займемся!

1. Как быстро складывать и вычитать числа

Рассмотрим три случайных примера:

1. 25 – 7 =
2. 34 – 8 =
3. 77 – 9 =

Типа 25 – 7 = (20 + 5) – (5- 2) = 20 – 2 = (10 + 10) – 2 = 10 + 8 = 18

Согласитесь, что такие операции сложно проворачивать в голове.

Но есть более простой способ:

25 – 7 = 25 – 10 + 3, так как -7 = -10 + 3

Намного проще вычесть из числа 10 и прибавить 3, чем городить сложные вычисления.

Вернемся к нашим примерам:

1. 25 – 7 =
2. 34 – 8 =
3. 77 – 9 =

Оптимизируем вычитаемые числа:

1. Вычесть 7 = вычесть 10 прибавить 3
2. Вычесть 8 = вычесть 10 прибавить 2
3. Вычесть 9 = вычесть 10 прибавить 1

Итого получим:

1. 25 – 10 + 3 =
2. 34 – 10 + 2 =
3. 77 – 10 + 1 =

Вот теперь намного интересней и проще!

Посчитайте сейчас представленные ниже примеры этим способом:

1. 91 – 7 =
2. 23 – 6 =
3. 24 – 5 =
4. 46 – 8 =
5. 13 – 7 =
6. 64 – 6 =
7. 72 – 19 =
8. 83 – 56 =
9. 47 – 29 =

2. Как быстро умножать на 4, 8 и 16

В случае умножения мы тоже разбиваем числа на более простые, например:

Если помните таблицу умножения, то все просто. А если нет?

Тогда нужно упростить операцию:

Наибольшее число ставим первым, а второе раскладываем на более простые:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = ?

Удваивать числа гораздо легче, нежели чем учетверять или увосьмирять их.

Получаем:

8 * 4 = 8 * 2 * 2 = 16 * 2 = 32

Примеры раскладывания чисел на более простые:

1. 4 = 2*2
2. 8 = 2*2 *2
3. 16 = 22 * 2 2

Отработайте этот способ на следующих примерах:

1. 3 * 8 =
2. 6 * 4 =
3. 5 * 16 =
4. 7 * 8 =
5. 9 * 4 =
6. 8 * 16 =

3. Деление числа на 5

Возьмем следующие примеры:

1. 780 / 5 = ?
2. 565 / 5 = ?
3. 235 / 5 = ?

Деление и умножение с числом 5 всегда очень простые и приятные, ведь пять это половина от десяти.

И как их быстро решить?

1. 780 / 10 * 2 = 78 * 2 = 156
2. 565 /10 * 2 = 56,5 * 2 = 113
3. 235 / 10 * 2 = 23,5 *2 = 47

Для того чтобы проработать этот способ решите следующие примеры:

1. 300 / 5 =
2. 120 / 5 =
3. 495 / 5 =
4. 145 / 5 =
5. 990 / 5 =
6. 555 / 5 =
7. 350 / 5 =
8. 760 / 5 =
9. 865 / 5 =
10. 1270 / 5 =
11. 2425 / 5 =
12. 9425 / 5 =

4. Умножение на однозначные числа

С умножением немного сложнее, но не сильно, как бы Вы решили следующие примеры?

1. 56 * 3 = ?
2. 122 * 7 = ?
3. 523 * 6 = ?

Без специальных фишек решать их не очень приятно, но благодаря методу «Разделяй и властвуй» мы можем сосчитать их гораздо быстрее:

1. 56 * 3 = (50 + 6)3 = 50 3 + 6*3 = ?
2. 122 * 7 = (100 + 20 + 2)7 = 100 7 + 207 + 2 7 = ?
3. 523 * 6 = (500 + 20 + 3)6 = 500 6 + 206 + 3 6 =?

Нам остается только перемножить однозначные числа, некоторые из которых с нулями и сложить полученные результаты.

Для проработки этой техники решите следующие примеры:

1. 123 * 4 =
2. 236 * 3 =
3. 154 * 4 =
4. 490 * 2 =
5. 145 * 5 =
6. 990 * 3 =
7. 555 * 5 =
8. 433 * 7 =
9. 132 * 9 =
10. 766 * 2 =
11. 865 * 5 =
12. 1270 * 4 =
13. 2425 * 3 =

Делимость числа на 2, 3, 4, 5, 6 и 9

Проверьте числа: 523, 221, 232

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Например, возьмем число 732, представим его как 7 + 3 + 2 = 12. 12 делится на 3, а значит, число 372 делится на 3.

Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 3:

12, 24, 71, 63, 234, 124, 123, 444, 2422, 4243, 53253, 4234, 657, 9754

Число делится на 4, если число, состоящее из последних двух его цифр, делится на 4.

Например, 1729. Последние две цифры образуют 20, которое делится на 4.

Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 4:

20, 24, 16, 34, 54, 45, 64, 124, 2024, 3056, 5432, 6872, 9865, 1242, 2354

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 5 (самое легкое упражнение):

3, 5, 10, 15, 21, 23, 56, 25, 40, 655, 720, 4032, 14340, 42343, 2340, 243240

Число делится на 6, если оно делится и на 2 и на 3.

Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 6:

22, 36, 72, 12, 34, 24, 16, 26, 122, 76, 86, 56, 46, 126, 124

Число делится на 9, если сумма его цифр, делится на 9.

Например, возьмем число 6732, представим его как 6 + 7 + 3 + 2 = 18. 18 делится на 9, а значит, число 6732 делится на 9.

Проверьте, какие из следующих чисел делятся на 9:

9, 16, 18, 21, 26, 29, 81, 63, 45, 27, 127, 99, 399, 699, 299, 49

Игра «Быстрое сложение»

1. Ускоряет устный счет
2. Тренирует внимание
3. Развивает творческое мышление

Отличный тренажер для развития быстрого счета. На экране дана таблица 4х4, а над ней показаны числа. Самое большое число нужно собрать в таблице. Для этого нажмите мышкой на два числа, сумма которых равна этому числу. Например, 15+10 = 25.

Игра "Быстрый счет"

Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление . Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Игра "Угадай операцию"

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Упрощение"

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Задание на сегодня

Решить все примеры и тренироваться минимум 10 минут в игре Быстрое сложение.

Очень важно отработать все задания этого урока. Чем лучше Вы будете выполнять задания, тем больше будет пользы. Если Вы чувствуете, что Вам мало заданий - можете сами составлять себе примеры и решать их и тренироваться в математические развивающие игры.

Урок взят из курса "Устный счет за 30 дней"

Научитесь быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. Научу использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Другие развивающие курсы

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
2. Научится запоминать на более длительный срок
3. Увеличится скорость воспоминания нужной информации

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Чтобы умножить любое двухзначное число на 11 , просто сложите эти 2 цифры вместе и поместите их сумму посередине.

Например, если вы хотите умножить 53 на 11, сложите 5+3, получите восьмерку и разместите посерединке между 5 и 3, и это даст правильный ответ 583.

Если сумма двух цифр равняется 10 или более, просто прибавьте это число к левой цифре. Например, если вы хотите умножить 97 на 11, сложите 9+7 = 16. 6 поместите посередине, а 1 прибавьте к 9, что дает правильный ответ - 1067.

Деление на 5

Надо при делении на 5 умножить на 2 и убрать 0 в конце числа.

Например, 480 делить на 5. Умножаем на 2 (960) и убираем 0. Получаем 96.

Теперь сами разделите на 5 следующие числа: 540, 290, 770, 1450. И калькулятором проверяйте!

Это даёт момент торжества.

При умножении на 5 делим на 2 и приписываем 0.

Пример. 480 умножить на 5. Делим на 2, получаем 240. Дописываем 0. 2400.

Сами умножьте на 5: 540, 290, 770, 1450

Умножение на 5, 50, 500

Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. Также быстро и легко можно умножать на 5, 50, 500, особенно чётные числа.

68 х 5 = 34: 10 = 340

68 х 50 = (68: 2) х 100 = 3400

Можно и нечётные:

17 х 50 = (16 + 1) х 50 = 8 х 100 = 850

Деление на 5, 50, 500

Всё происходит в обратном порядке: сначала делимое удваиваем и отбрасываем 1, 2 или 3 нуля. Например:

135: 5 = (135 х 2) : 10 =27

2150: 50 = 2150 х 2: 100 = 4300: 100 = 43

Умножение на 25

24 х 25 = 24: 4 х 100 = 600 - легко, когда четные. Нечётные представляем в виде суммы слагаемых (или разности). Например:

37 х 25 = (36 + 1) х 25 = 36: 4 х 10 + 25 = 925

Умножение на 26 и на 24

Заменяем суммой слагаемые 26 и 24:

36 х 26 = 36 х (25 + 1) = 36: 4 х 100 + 36 = 936

36 х 24 = 36 х (25 - 1) = 900 - 36 = 864

При делении на 25 всё происходит в обратном порядке:

360: 25 = (360 х 2) х 2 х 100 = 1440: 100 = 14,4

225: 25 = (225 х 2) х 2: 100 = 9.

Умножение на 125 - это деление на 8 и умножение на 1000:

42 х 125 = 88: 8 х 1000 = 11 000

Если число на 8 не делится, то используем один из перечисленных приёмов:

42 х 125 = 40: 8 х 1000 + 2 х 125 = 5000 + 250 = 5250.

Умножение на 9 , 99, 999

Удобно заменить на 10 - 1, 100 - 1, 1000 - 1

Умножение чётных чисел на 15

Делим число на 2 и прибавляем к искомому числу, затем всё умножаем на 10. Этот приём действует только для чётных чисел. Например:

14 х 15 = (14: 2 + 14) х 10 = 21 х 10 = 210

26: 15 = (26: 2 + 26) х 10 = 39 х 10 = 390

Нечётные представлены в виде суммы слагаемых

23 х 15 = (22 + 1) х 15 = (22: 2 + 22) х 10 +15 = 330 +15 = 345

Используя этот приём, можно умножать на 16 и 14 - (15 +1) и (15 - 1):

66 х 16 = 66 х (15 + 1) = (66: 2 + 66) х 10 + 66 = 1156

Умножение чисел, оканчивающихся на 5, самих на себя

35 х 35 = 3 х 4 и приписываем 5 х 5, т.е. 35 х 35 = 1225

Умножение на 11 и на 111

а) 32 х 11 = 32 х 10 + 32 = 352

б) раздвигаем цифры 3 и 2 вставляем между ними их сумму: 3 5 2

в) при умножении на 111, допустим 25:

Раздвигаем цифры множимого

Находим их сумму

Вписываем её уже 2 раза:

25 х 111 = 2 7 7 5

Если сумма цифр двузначного числа больше 10, то делаем так:

Число десятков множимого увеличиваем на 1,

Раздвигаем десятки и единицы

Вписываем единицы суммы десятков и единиц множимого:

78 х 11 = (7+1) (7+8) 8 = 8 15 8 = 858

г) чтобы умножить трёхзначное число на 11, нужно:

Число сотен и единиц оставить на своих местах

Приписать сумму сотен и десятков множимого

Приписать сумму десятков и единиц

115 х 11 = 1 (1+1) (1+5) 5 = 1265

Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда.

а) чтобы сложить несколько последовательных чисел натурального ряда (нечётное количество), необходимо слагаемое, стоящее посередине, умножить на число слагаемых:

6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 8 х 5 = 40

б) если чисел чётное количество, то берём два слагаемых, стоящих посередине и их сумму умножаем на половину количества слагаемых

6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 8+9 х 3 = 51